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Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinais às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano.

A torre deve estar situada em um lugar equidistante das três antenas.

O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas.

  • A) (65; 35)
  • B) (53; 30)
  • C) (45; 35)
  • D) (50; 20)
  • E) (50; 30)

A alternativa correta é letra E) e) (50; 30)

Considere o seguinte triângulo ABC:

Como a torre T é equidistante das antenas A, B e C, temos que T é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. Veja:

Lembre-se que o centro desta circunferência é determinado pela intersecção entre as retas mediatrizes dos segmentos AB ¯ , BC ¯  e AC ¯ .

Perceba que a reta r, mediatriz de AC ¯ , é perpendicular a AC ¯ , além de passar por seu ponto médio. Dessa maneira, temos:

m AC = y A y C x A x C = 2050 3060 =1

E, como são perpendiculares, segue:

m AC m r =1 m r =1

Calculando o ponto médio M de AC ¯ :

M=( x A + x C 2 , y A + y C 2 )M=( 30+60 2 , 20+50 2 )M=( 45,35 )

Assim, a equação da reta r é dada por:

y y M = m r ( x x M )y35=1( x45 )y=x+80

Da mesma forma, calculemos a reta mediatriz ao segmento AB ¯

. Mas, veja que este segmento é paralelo ao eixo x com equação y=20

. Então, a reta perpendicular a este segmento é dada por x=k

, onde k é uma constante.

Como x=k

passa pelo ponto médio N=( x N , y N )

de AB ¯

, basta calcular a abscissa de N:

x N = x A + x B 2 x N = 30+70 2 x N =50

Assim, a reta mediatriz a AB ¯

tem equação x=50

.

Então, fazendo a intersecção das retas encontradas, temos:

{ x=50 y=x+80 { x=50 y=30

Portanto, T=( 50,30 )

.