Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinais às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano.
A torre deve estar situada em um lugar equidistante das três antenas.
O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas.
- A) (65; 35)
- B) (53; 30)
- C) (45; 35)
- D) (50; 20)
- E) (50; 30)
A alternativa correta é letra E) e) (50; 30)
Considere o seguinte triângulo ABC:
Como a torre T é equidistante das antenas A, B e C, temos que T é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo ABC. Veja:
Lembre-se que o centro desta circunferência é determinado pela intersecção entre as retas mediatrizes dos segmentos , e .
Perceba que a reta r, mediatriz de , é perpendicular a , além de passar por seu ponto médio. Dessa maneira, temos:
E, como são perpendiculares, segue:
Calculando o ponto médio M de :
Assim, a equação da reta r é dada por:
Da mesma forma, calculemos a reta mediatriz ao segmento
. Mas, veja que este segmento é paralelo ao eixo x com equação
. Então, a reta perpendicular a este segmento é dada por
, onde k é uma constante.
Como
passa pelo ponto médio
de
, basta calcular a abscissa de N:
Assim, a reta mediatriz a
tem equação
.
Então, fazendo a intersecção das retas encontradas, temos:
Portanto,
.